Espero que os encontréis todos bien, y con muchos ánimos para aprender cosas nuevas. Hoy la clase la vamos a dedicar a una figura muy especial. Tan especial, que desde antiguo, muchos matemáticos le han dedicado largas horas de estudio. De hecho sin esta figura, no podríais ir ni en bici ni en patinete...
Como ya os lo habéis podido imaginar se trata del círculo. Y es que allí donde os encontréis una rueda, habrá un círculo y una circunferencia (aunque no sean exactamente lo mismo). Calcular el perímetro de una circunferencia, o el área de un círculo no fue tarea fácil. Las fórmulas que vamos a aprender hoy nos las tendremos que aprender sin más, y son el resultado de los trabajos de un geómetra griego denominado Arquímedes de Siracusa, que descubrió estas fórmulas allá por el siglo III a. C.
Además en sus escritos encontramos la primera aproximación numérica del número Pi, con más de dos decimales exactos. En efecto, fue Arquímedes el primero que dijo que en la circunferencia hay un número llamado Pi, cuyo valor es aproximadamente 3.14. Hoy día sabemos que Pi es mucho más que eso, y se han obtenido millones de cifras decimales con ayuda del ordenador. Pero no podemos olvidar el primero que inició el camino, e hizo sus trabajos con sólo una regla y un compás.
Así que sin más demora, abrid vuestro libro de Matemáticas por la página 242, el cuaderno por donde corresponda, el compás más que nunca a mano, y cuando estéis preparados comenzamos...
1. LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA
La primera cuestión que debemos tener clara es la diferencia entre circunferencia y circulo. Para que se entienda de manera sencilla, pensar en un anillo o en una moneda de euro. El anillo sólo tiene contorno, mientras que la moneda de euro está maciza y contiene material en su interior. La primera es un ejemplo de circunferencia, y la segunda de círculo. Copia en tu cuaderno las siguientes definiciones:
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto llamado centro. Todos los puntos de la circunferencia se encuentran a la misma distancia del centro. Dicha distancia es el radio de la circunferencia.
El círculo es el conjunto de puntos del plano que se encuentran en el interior de una circunferencia. Por tanto el borde de un círculo es una circunferencia.
La longitud de una circunferencia es la medida del contorno del círculo. Se puede demostrar que la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es siempre una constante. A dicha constante se le llama Pi.
Veamos lo que pone vuestro libro:
Ejemplo 1: Calcula el perímetro de un círculo de 10 cm de radio.
Solución: Aplicando la fórmula dada
L = 2 x Pi x r = 2 x 3.14 x 10 = 6,28 cm.
2. ÁREA DE UN CÍRCULO
Para calcular el área de un círculo, podemos pensar en triangularlo, así como hicimos en la clase anterior con los poligonos regulares. De hecho, un círculo podría considerarse como un polígono regular de infinitos lados.
Esta es la idea que usó Arquímedes para cuadrar el circulo...
Es decir, el área de un círculo es el cuadrado del radio por PI. Apuntad bien esta fórmula que la utilizaremos a menudo.
Ejemplo 2: Calcula el área de un círculo de 10 cm de radio.
Solución: Aplicando la fórmula previa
A = π
· r2
= 3.14 · 102
= 3.14 · 100 = 314 cm2
Ejercicio resuelto
Lee con atención el siguiente ejercicio donde se aplican las dos fórmulas anteriores:
Observa que aunque las formas sean distintas los perímetros y áreas de ambas figuras coinciden. La figura coloreada de verde es lo que se denomina corona circular. Si has entendido hasta aquí, vamos a por la primera tarea del día...
TAREA 1: Realiza en tu cuaderno los ejercicios 1 y 2 de la página 242.
(Una vez realizada la tarea, continuamos...)
3. ARCO DE CIRCUNFERENCIA
Cuando dibujamos un segmento uniendo dos puntos de una circunferencia, obtenemos una cuerda y un arco. Es posible calcular la longitud de este arco, si conocemos el valor del ángulo central que cubre dicho arco.
Con una regla de tres simple, se puede obtener la siguiente fórmula:
Ejemplo 3: Calcula la longitud de un arco de circunferencia de 12 cm de radio, cuando abarca un ángulo central de 60º.
Solución: Aplicando la fórmula previa, tendremos:
Longitud arco = (2 · 3,14 · 12) / 360 · 60º = 12,56 cm.
4. SECTOR CIRCULAR
Un sector circular es la región del círculo comprendida entre dos radios y que queda cubierta por un ángulo central.
Para medir la porción de superficie cubierta por un sector de cierto ángulo, aplicamos una fórmula muy parecida a la obtenida en el apartado previo.
Ejemplo 4: Calcula el área comprendida por un ángulo central de 45º, en el interior de un círculo de 3 cm de radio.
Solución: Aplicando la fórmula previa, tendremos:
Área sector = ( 3,14 · 9) / 360 · 45º = 3,53 centímetros cuadrados.
Lee atentamente el ejercicio resuelto que aparece en tu libro.
Si lo has comprendido, vamos a practicar esta última parte.
TAREA 2: Realiza en tu cuaderno los ejercicios del 3 al 7 de la página 243, sobre figuras circulares.
Recuerda copiar los enunciados completos, dibujar la figura correspondiente, usando regla y compás y poniendo sus medidas. De momento es todo por hoy. En la próxima clase haremos un repaso del tema. Como siempre aprovechad el tiempo y estudiad mucho!
Una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo: fedematesxxi@gmail.com
Este correo también lo tenéis disponible para dudas.
-------------------------- FIN DE LA CLASE --------------------------------
Próxima sesión: Viernes 29 de Mayo de 2020
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