CLASE 28: Cálculo de áreas de polígonos.

Buenos días!

Comenzamos una nueva semana y continuamos un día más con nuestras clases de Matemáticas on-blog. Esta semana la vamos a dedicar al cálculo de áreas de figuras algo más complicadas, que las que hemos visto hasta ahora. Tampoco demasiado complicadas, aunque ya os adelanto que no hay fórmulas para todo. En ocasiones es necesario agudizar el ingenio, para poder calcular el área de un polígono irregular. De eso va la clase de hoy. 

Coged vuestro libro,  abridlo por la página 241, el cuaderno por donde corresponda, la regla de dibujo a mano, y cuando estéis preparados comenzamos...

MEDIDAS EN POLÍGONOS

Recordad que un polígono es una figura que tiene muchos lados. Los polígonos que tienen todos sus lados y sus ángulos iguales se llaman regulares. El resto son polígonos irregulares. Nuestro objetivo es aprender a calcular el perímetro y el área de cualquier polígono, ya sea regular o irregular. Ya os aviso que los primeros son los más abundantes y no tiene fórmula. En cambio para los segundos sí hay una fórmula, que se deduce de lo aprendido en clases pasadas.

1. POLÍGONOS IRREGULARES.

Para calcular el área de un polígono irregular, efectuamos un proceso denominado triangulación, que consiste en dividir la figura en triángulos, trazando líneas en su interior. Una vez descompuesta la figura en triángulos, calculamos el área de cada uno.  El área total de la figura es la suma de las áreas de cada uno de los triángulos formados.

Mirad lo que pone vuestro libro:

Veamos un primer ejemplo, que debes copiar en tu cuaderno:

Ejemplo 1: Calcula el perímetro y el área de la siguiente figura.

Solución:  si os fijáis en la imagen, se trata de un cuadrilátero irregular. Hemos trazado una diagonal interior, para dividirlo en dos triángulos. La ventaja de hacerlo así es que estos triángulos interiores son rectángulos, y por tanto es muy sencillo calcular la superficie de cada uno de ellos.

Para el triángulo rectángulo menor,  de lados 3, 4 y 5 m, basta multiplicar los catetos y dividir entre dos. Así

A1 = (3 x 4) / 2 = 12 / 2 = 6 metros cuadrados.

Para el triángulo rectángulo mayor, de lados 12, 5 y 13 metros, aplicamos la misma fórmula, percatándonos que los catetos son los lados mas cortos de 12 y 5 metros, respectivamente:

                                         A2= (12 x 5) / 2 = 60 / 2 = 30  metros cuadrados.

Con todo, el área total del cuadrilátero será la suma de las áreas de estos dos triángulos.

At = A1 + A2 = 6 + 30 = 36 metros cuadrados.

El perímetro de la figura es la suma de todos sus lados. En este caso, es bastante sencillo obtener

P =  3 + 4 + 12 + 13 = 32 metros.

Ejemplo 2: Calcula  el perímetro y el área de la siguiente figura.

Solución:  en la imagen, hemos trazado una diagonal, para formar dos triángulos. El triángulo de la derecha es rectángulo y conocemos sus catetos. Su área se calcula multiplicando los catetos y dividiendo entre dos:

A1 = (30 x 40 ) / 2 = 1200 / 2 = 600 metros cuadrados.

En cambio, el triángulo de la izquierda es un triángulo isósceles, del que no sabemos su altura. Tendremos que determinarla, trazándola con la regla y aplicando el teorema de Pitágoras, tal como aparece en la siguiente imagen:

Observar que se forman tres triángulos rectángulos iguales, de lados 30, 40 y 50 metros.

Por tanto el área del polígono irregular es tres veces el área de uno de estos triángulos, que habíamos calculado antes. Es decir, 

At = 3 x A1 = 3 x 600 = 1800 metros cuadrados.

El perímetro es la suma de todos sus lados exteriores. Como los conocemos todos, podremos escribir:

P = 60 + 30  + 40  + 50 = 180 metros.

Observar la diferencia entre las unidades de medida del perímetro y del área. El perímetro se mide en unidades de longitud y el área en unidades de superficie. No las confundáis!

2. POLÍGONOS REGULARES.

Cuando un polígono es regular, también hacemos un proceso de triangulación de la figura, pero partiendo de su centro. De manera que obtenemos tantos triángulos como lados tenga la figura. Calculamos el área de uno de estos triángulos y multiplicamos por el número de lados.

Al final se obtiene una fórmula muy conocida que es la que suele aparecer en la mayor parte de libros de matemáticas.  Leed lo que pone al respecto vuestro libro:

La altura de cada triángulo tiene un nombre especial. Se denomina apotema.  De manera que la fórmula del área de cualquier polígono regular es siempre perímetro por apotema entre dos. 

Generalmente la apotema no mide lo mismo que el lado, y hay que calcularla haciendo uso del teorema de Pitágoras. En otros casos, nos la proporciona el problema como un dato más. Tan sólo hay una figura en la que el valor del lado coincide con el radio. Se trata del hexágono regular. En este caso, podemos determinar la apotema, que es la altura de cada uno de los triángulos que se forman en su interior.

Veamos un ejemplo de todo esto:

Ejemplo 3: Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular de 10 cm de lado.

Solución: En un hexágono regular, si triangulamos la figura a partir de su centro, observamos que se forman 6 triángulos equiláteros. Como el radio es 10, y el lado es 10, la mitad del lado es c = 5. Necesitamos calcular el valor de la altura "a", para calcular el área de un triángulo. Como se trata de un cateto en el triángulo rectángulo dibujado de azul en la figura, tendremos:

 a² = 10² – 5² = 100 – 25 = 75

Por tanto,   a² = 75 → a = 8,66 m

El área de cada triángulo será:   A = (10 x 8,66 ) / 2 = 43,3 centímetros cuadrados.

El área del hexágono es seis veces dicho valor,

At = 6 x 43,3 = 259,8 metros cuadrados.

También podríamos haber aplicado la fórmula, 

At = perímetro x apotema / 2 = (60 x 8,66 ) / 2 = 259,8 metros cuadrados.

Si has entendido hasta aquí, vamos a practicar esta parte con la única tarea del día.

TAREA 1: Realiza en tu cuaderno los ejercicios del 1 al 5 de la página 241, sobre área de polígonos.

Recuerda copiar los enunciados completos, y dibujar la figura correspondiente, poniendo sus medidas. De momento es todo por hoy. En la próxima clase hablaremos del círculo. Como siempre aprovechad el tiempo y estudiad mucho!

Una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

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Próxima sesión: Miércoles 27 de Mayo de 2020