MATEMÁTICAS 1º ESO: CLASE 22: El Teorema de Pitágoras.

Buenos días!

Hoy es un día importante. ¿Y porqué profe?, os preguntaréis algunos. No es porque sea lunes, no... es porque vamos a ver un teorema. ¿Y qué es un teorema?, dirán otros. Pues un resultado importante en Matemáticas, que debe ser recordado por nosotros y por futuras generaciones.... y es tan antiguo como la Matemática misma. De hecho su descubridor no fue otro que el genial Pitágoras de Samos, que vivió hace 2500 años y se considera el fundador de la Matemática como ciencia de los números.

Si tenemos que buscar un culpable, Pitágoras es el responsable de que existan las Matemáticas, tal como las conocemos... ah y también la música.

Pitágoras, desde niño, mostró un gran interés por comprender el mundo que le rodeaba. Pensaba que los números eran la clave para desvelar el secreto que se escondía detrás de cada cosa, desde un pájaro hasta una montaña. Viajó por los principales pueblos del Mediterráneo, aprendiendo de grandes sabios griegos (como Tales o Anaximandro). Estuvo en Egipto y probablemente fue aquí donde, observando como medían con cuerdas los agrimensores del Nilo, comenzó a vislumbrar su famoso teorema.

Pitágoras fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotón (ahora Crotona, en el este del talón del sur de Italia) que tuvo muchos seguidores. Pitágoras fue la cabeza de la sociedad con un círculo cercano de seguidores conocido como los matematikoi. Los matematikoi vivían permanentemente con la Sociedad, no tenían posesiones personales y eran vegetarianos. Fueron enseñados por el mismo Pitágoras y obedecían estrictas reglas.

Tanto a hombres como a mujeres se les permitía llegar a ser miembros de la Sociedad, de hecho varias mujeres pitagóricas posteriores llegaron a ser famosas filósofas. Además llevaban inscritas una marca en la mano, conocido como el pentagrama místico, que reconocía a los miembros de esta sociedad secreta: los pitagóricos.

Pues bien, vamos a meternos de lleno en el tema que nos ocupa. Coged vuestro libro de Matemáticas, abridlo por la página 222, el cuaderno por donde corresponda, sentaos bien en la silla, y cuando estéis preparados comenzamos...

1. EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Antes de comenzar con el teorema, debemos recordad como se clasifican los diferentes tipos de triángulos, en función de cómo son sus lados.

Clasificación de triángulos.

Los triángulos se pueden clasificar de dos maneras: según como sean sus lados, o como sean sus ángulos.

Según sus lados:

Equilátero: es el triángulo que tiene todos sus lados iguales.

Isósceles: es el triángulo que tiene dos lados iguales y uno desigual.

Escaleno: es el triángulo que tiene todos sus lados distintos.

Según sus ángulos interiores:

Rectángulo: es el que posee un ángulo recto, y los otros dos agudos.

Obtusángulo: es el que posee un ángulo obtuso y los otros dos agudos.

Acutángulo: es el que posee sus tres ángulos agudos.

Se pueden dar combinaciones de ellos. Por ejemplo un triángulo puede ser rectángulo e isósceles. O bien obtusángulo y escaleno. El Teorema de Pitágoras se refiere sólo a triángulos rectángulos.

En todo triángulo rectángulo, siempre hay un lado que es mayor que los otros dos. Ese lado se denomina hipotenusa, y como convenio de notación lo señalaremos con la letra a.

Los otros dos lados son más cortos, y por ser cortos, se denominan catetos. Los catetos se designan por las letras b y c.

A veces no resulta fácil saber cuál es la hipotenusa, y cuáles los catetos. Recuerda este truco:

la hipotenusa es siempre el lado opuesto al ángulo de 90º.

Los otros dos lados serán los catetos, y da igual llamar a uno b y al otro c, o viceversa.

Pues bien, si tenemos todo esto claro, ya estamos en condiciones de enunciar el famoso teorema que puedes encontrar en la página 178 de tu libro de texto.

"En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

Recuerda: Si el triángulo no es rectángulo, el teorema de Pitágoras no se puede aplicar.

Existen dos tipos de problemas relacionados con el teorema. O bien nos dan los catetos y tenemos que calcular la hipotenusa, o bien nos dan la hipotenusa y un cateto, y tenemos que calcular el otro cateto. Os dejo un par de ejemplos que debéis copiar en vuestro cuaderno, que os pueden servir para aclarar ideas.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Fijaos que cuando se pide la hipotenusa, se suman los cuadrados de los catetos. Cuando se pide un cateto, se restan los cuadrados. Eso es lógico, porque los catetos miden siempre menos que la hipotenusa. Para practicar ésto, vamos a por la primera tarea del día.

TAREA 1: Realiza en tu cuaderno los ejercicios del 1 al 4 de la página 223, sobre el Teorema de Pitágoras.

(Una vez realizados, continuamos...)

2. EL RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.

Podemos pensar ahora a la inversa. Suponed que nos dan los tres lados de un triángulo cualquiera, por ejemplo a =5, b = 4 y c =3.

La pregunta que nos hacemos es: ¿será un triángulo rectángulo?

Por suerte, podemos saber el tipo de triángulo sin dibujarlo, simplemente haciendo unos pocos cálculos. Esto es lo que se conoce como recíproco del teorema de Pitágoras.

Si la hipotenusa (a) al cuadrado coincide con la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces podemos afirmar que se trata de un triángulo rectángulo. Si es mayor, será un triángulo obtusángulo. Y si es menor será un triángulo acutángulo.

En el ejemplo de arriba tendríamos: 4² + 3² = 16 + 9 = 25 = 5²

por tanto se trata de un triángulo rectángulo!

A la terna (3,4,5) también se le llama una terna pitagórica.

A modo de resumen tenemos lo siguiente: