CLASE 26:Cálculo de áreas I

Buenos días!

Hoy es 20 de Mayo de 2020. Curiosa fecha. Por desgracia nunca podremos encontrar un día  en el calendario que sea 20 del 20 del 2020. Sería una fecha para no olvidar. Aún así, recordar que este año es un año diferente a otros.  No sólo por culpa del dichoso coronavirus, sino porque es un año bisiesto, es decir, tiene un día más (febrero este año tiene 29 días). 

Los años bisiestos se producen porque nuestro planeta Tierra no tarda exactamente 365 días en dar una vuelta completa al sol (es decir, exactamente un año solar) Sino que tarda 365 días y 6 horas, aproximadamente. ¿Y qué hacemos con esas 6 horas? Pues a los sabios astrónomos se les ocurrió la original idea de no contarlas, hasta pasados cuatro años. Como cuatro por seis son 24, cada cuatro años se acumulan 24 horas, es decir,  un día que se añade a febrero... De este modo el próximo año bisiesto será en 2024, luego en 2028,  en 2032, etc...

Los sabios griegos miraban mucho a los cielos, para observar las estrellas. Les admiraba la geometría del firmamento. Pero no sólo los cielos sino también el suelo. Recordad que la palabra geometría, significa  precisamente eso, "medir la tierra".

Cuenta la leyenda que un barco griego naufragó cerca de una isla perdida en el Mediterráneo. Algunos de los viajeros, consiguieron llegar a la playa.  En la arena vieron dibujadas algunas figuras geométricas. Entonces uno de los viajeros exclamó: No temáis compañeros. Aquí viven personas civilizadas!  Y es que no puede ser muy salvaje un pueblo que conoce la geometría.

Los dibujos eran precisamente de uno de los mayores genios de la Antigüedad: Arquímedes de Siracusa,  del que os hablaré más adelante. Algunos de los descubrimientos de Arquímedes los trataremos en este tema, relacionados con el cálculo de áreas de las figuras planas.

Pues de eso va el tema de hoy: cálculo de áreas. Como es un tema extenso, lo iremos viendo durante los próximos días hasta aprenderlo bien. No es complicado, pero sí aparecen una serie de fórmulas que tendremos que comprender y memorizar. Son de uso frecuente en Ciencias.

Sin más demora, coged vuestro libro de Matemáticas, nos vamos a la página 237, (comienzo del tema 13), abrid vuestro cuaderno por una página nueva, sentaos bien en la silla, y cuando estéis dispuestos comenzamos...

1. PERÍMETRO Y ÁREA.

Copia las siguientes definiciones en tu cuaderno:

Llamamos perímetro de una figura poligonal cerrada, a la suma de las longitudes de todos sus lados. 

El perímetro, por tanto, se mide en unidades de longitud (metros, decímetros, centímetros, ....)

Llamamos área de una figura poligonal cerrada, a la medida de la superficie que ocupa.  El área, por tanto, se mide en unidades cuadradas (metros cuadrados, decímetros cuadrados, centímetros cuadrados...)

¿Y porqué cuadradas? os preguntaréis algunos. Pues la idea es bien simple. El área de una figura, mide la cantidad de papel que emplearíamos al recortarla sobre  una cartulina. Para medir ésta cantidad de papel,  necesitamos establecer una unidad que nos sirva de comparación o patrón de medida.

Los antiguos griegos consideraron el cuadrado como la figura más elemental, y lo establecieron como patrón. Así, un cuadrado de 1 metro de lado, ocupa una superficie de 1 metro cuadrado. 

Es decir, un metro cuadrado es la superficie cubierta por un cuadrado de lado 1 metro. 

No confundáis con el perímetro de la figura. En el cuadrado de arriba el perímetro es de 4 metros, y el área de 1 metro cuadrado.

Lo mismo lo podemos aplicar al decímetro cuadrado, centímetro cuadrado, etc...

Ya vimos en su día las relaciones que hay entre estas unidades de medida. Por ejemplo, 

 1 metro cuadrado  = 100 decímetros cuadrados.

1 decímetro cuadrado = 100 centímetros cuadrados.

1 metro cuadrado = 10000 centímetros cuadrados.

Observar como se entiende mejor ahora, porque en la conversión de unidades del sistema métrico decimal (SMD), cuando pasamos de metros cuadrados a decímetros cuadrados debemos multiplicar por 100 y no por 10. Esto es así, porque como se aprecia en la imagen, 1 metro cuadrado contiene  

10 x 10 = 100 decímetros cuadrados.

es decir 100 cuadrados de lado 1 decímetro. 

Calcular el área de una figura no es más que calcular  la cantidad de cuadraditos de lado 1 que hay en su interior. Por eso los antiguos, llamaban a estos problemas, los problemas de cuadraturas.

Ejemplo 1:  ¿Cuál es el área de un cuadrado de  5 centímetros de lado? ¿Y su perímetro?

Solución: Como cada cuadradito mide 1 centímetro de lado, la superficie de cada cuadradito es de  1 centímetro cuadrado. Como hay  en total 5 x 5 = 25 cuadraditos en el interior de la figura,  el área del cuadrado es de 25 centímetros cuadrados.

El perímetro es la suma de las longitudes de todos sus lados. Cada lado mide 5 centímetros, luego el perímetro es  P = 4 x 5 = 20 centímetros.

Nota: Es importante no confundir las unidades de longitud con las de superficie.

Ejemplo 2: ¿Cuál es el área de un rectángulo de  5 cm de base y 3 cm de altura?¿Y su perímetro?

Solución:  Dividimos la figura en cuadraditos de 1 cm de lado. Contamos  5 x 3 = 15 cuadraditos en su interior, por lo que el área del rectángulo es 

A = 15 centímetros cuadrados.

El perímetro es la suma de las longitudes de todos sus lados. La base mide 5 cm y la altura 3 cm.

P = 5 + 3 + 5 + 3 = 16 centímetros.

Si has comprendido hasta aquí, vamos a por la primera tarea del día.

TAREA 1: Calcula el área de las siguiente figuras, que puedes encontrar en la página 237 de tu libro de Matemáticas.

Nota: En las figuras que no son polígonos tendrás que hacer una aproximación. Con pequeños trucos se pueden cuadrar todas de manera exacta, excepto la forma 6, que es la más complicada.

(Una vez realices la tarea en tu cuaderno, continuamos)

2. ÁREA DE CUADRILÁTEROS

Como habrás podido comprobar,  el problema de calcular áreas (cuadrar figuras) no siempre es sencillo. Por suerte, los matemáticos han estudiado muchas de estas figuras planas, y han obtenido fórmulas, que nos evitan tener que estar contando cuadraditos en cada caso.  

Pero aunque deduzcamos y apliquemos fórmulas, no debéis perder de vista la idea principal de lo que estamos haciendo:

  "calcular un área no es más que cuadrar la figura, osea, contar el número de  cuadraditos unitarios que caben en su interior."

Hagamos un repaso de las fórmulas más importantes, asociadas a los cuadriláteros que vimos en el tema anterior. La primera ya la hemos visto, pero escribidlas en vuestro cuaderno, en el orden que os indico:

CUADRADO

RECTÁNGULO

ROMBOIDE (o paralelogramo)

 ROMBO

TRAPECIO

Veamos algunos ejemplos de cada caso. Debes copiarlos en tu cuaderno, dibujando la figura correspondiente.  Te servirá para ejercitar esta parte y te vayas familiarizando con las fórmulas.


Ejemplo 1: Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de 12 cm de lado.
Solución:     P = 4 x 12 = 48 cm.           A = lado x lado =  12 x 12 = 144 centímetros cuadrados.


Ejemplo 2: Calcula el perímetro y el área de un rectángulo de 14 cm de base y 6 de altura.
Solución:     P = 14 x 2 + 6 x 2 = 40 cm.      A = base x altura = 14 x 6 = 84  centímetros cuadrados.


Ejemplo 3: Calcula el área de un paralelogramo de 10 cm de base y 4 cm de altura.
Solución:                A = base x altura = 10 x 4 = 40  centímetros cuadrados.


Ejemplo 4: Calcula el perímetro y el área de un rombo cuyas diagonales miden 80 y 60 dm respectivamente, expresando el resultado en metros.
Solución: Para calcular el perímetro necesitamos calcular la longitud del lado. Aplicando el Teorema de Pitágoras, se demuestra que el lado del rombo  mide 50 cm, Por tanto,
       P = 4 x lado = 4 x 50 = 200 dm  = 20 metros.   
      A = D x d / 2 = 80 x 60 / 2 = 4800 / 2 = 2400  decímetros  cuadrados = 24 metros cuadrados.


Ejemplo 5: Calcula el  área de un trapecio isósceles, cuya base mayor mide 14 cm, la base menor mide 8 cm,  y la altura  4 cm.
Solución:     Área Trapecio = (Base mayor + base menor)/2 x altura  =
                                             =  (14 + 8 ) / 2 x 4 = 11 x 4 = 44

El área del trapecio es de 44 centímetros cuadrados.

Si has comprendido bien estos ejemplos, vamos a por la segunda tarea del día:

TAREA 2: Realiza en tu cuaderno los ejercicios del 1 al 5 de la página 238,  sobre el cálculo de perímetros y  áreas de cuadriláteros.

Recuerda que debes dibujar siempre la figura a la que hace referencia el ejercicio. Primero escribe la fórmula general, y luego la aplicas con los datos del problema.

El próximo día continuaremos con las fórmulas para triángulos y polígonos.
Como siempre, portaos bien, y estudiad mucho!

Una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

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Próxima sesión: Viernes 22  de Mayo de 2020