Buenos días!
Espero estéis todos bien. Comenzamos una nueva semana, y retomamos nuestras lecciones de Matemáticas on-blog. Como recordaréis la semana pasada estuvimos viendo cuestiones de geometría, y aprendimos a operar con ángulos. La clase de hoy es interesante, porque vamos a estudiar ciertas propiedades de los ángulos que no son muy conocidas, pero tienen infinidad de aplicaciones. Creo que estas cosas no os las han contado en la escuela, por lo que deberéis prestar más atención que la habitual, para comprenderlas bien.
La clase de hoy tiene dos partes: en la primera trataremos de los ángulos que podemos encontrar en cualquier polígono. En la segunda, dibujaremos ángulos sobre una circunferencia. Y veremos una serie de resultados (que en Matemáticas los denominamos "teoremas"), bastante llamativos.
Ya sabéis, coged el cuaderno de Mates, abrid vuestro libro por la página 205, bolígrafo en mano y cuando estéis preparados comenzamos...
ÁNGULOS EN POLÍGONOS
La historia se remonta a 300 años a.C. (antes de Cristo). En la biblioteca de Alejandría, un grupo de sabios escribían en sus pergaminos todo lo que habían podido recopilar del saber de la época. En esta biblioteca, trabajó durante muchos años un sabio griego, llamado Euclides, muy interesado por la Geometría.
Todos sabéis lo que es un triángulo, verdad? Si tenemos tres puntos no alineados y los unimos, con segmentos, obtenemos una figura de tres lados y tres ángulos (que es precisamente lo que significa la palabra "triángulo"= tres ángulos).
Pues bien, dibujando diferentes triángulos, Euclides se dedicó a medir sus ángulos internos, usando una especie de transportador. Si dibujaba diferentes triángulos salían diferentes medidas para cada uno de los ángulos interiores. Eso era lógico. Pero se dio cuenta de un hecho muy curioso: cuando sumaba todos los ángulos siempre obtenía un mismo valor: 180º
Esto lo demostró de manera formal, y la demostración no es complicada. Fijaos en el dibujo que muestra vuestro libro al inicio de la página 205. Trazando la paralela a la base que pasa por el vértice opuesto, obtenemos ángulos que se corresponden con los diferentes ángulos del triángulo, pero además forman un ángulo llano.
En el dibujo se observa que, al trazar la paralela al segmento c, los ángulos morados son iguales. Los ángulos azules también. Y vistos en su parte superior, los tres ángulos, dibujados de forma consecutiva forman un ángulo llano, es decir, suman 180º. Esto es lo que se conoce como Teorema de Euclides para triángulos. Para no olvidarlo copia en tu cuaderno:
Teorema de Euclides
La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es siempre dos rectos, o sea 180º.
Podemos comprobar empíricamente que esto es así. Para ello vamos a realizar la primera tarea del día.
TAREA 1: Dibuja en tu cuaderno un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 5 cm.
Nombra con las letras A, B y C cada uno de los sus vértices. ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos interiores? Comprueba el Teorema de Euclides con los datos obtenidos.
Pero Euclides y sus discípulos no se quedaron ahí. Estudiaron que pasaría si en lugar de una figura de tres lados, dibujamos una de cuatro lados, o cinco, o seis (cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc...) Dividiendo la figura en triángulos, consiguieron probar los siguientes hechos:
- La suma de los ángulos de cualquier cuadrilátero es 2 · 180 = 360º
- La suma de los ángulos de cualquier pentágono es 3 · 180 = 540º.
- La suma de los ángulos de cualquier hexágono es 4 · 180 = 720º.
y así sucesivamente. En general obtuvieron un nuevo resultado que podemos llamar Teorema de Euclides generalizado, y que podéis leer en vuestro libro:
Observar que vamos restando 2, al número de lados del polígono en cuestión, y multiplicamos por 180º. Esto es porque un polígono de n lados se puede descomponer en (n-2) triángulos, como se puede comprobar fácilmente.
Por ejemplo, en la imagen tenemos un polígono de 6 lados (hexágono irregular), que hemos podido dividir en cuatro triángulos. La suma de todos los ángulos interiores del hexágono (sea como sea) es siempre S = 4 · 180º = 720º.
Antes de continuar, vamos a ver si lo habéis entendido. Nos vamos al final de la página 205, y vamos a realizar la siguiente tarea:
TAREA 2: Realiza en tu cuaderno los ejercicios del 1 al 5 de la página 205, sobre ángulos en polígonos.
(Una vez realizados continuamos...)
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Vamos a dibujar ahora ángulos sobre una circunferencia. Esto se puede hacer de diferentes maneras.
Tenemos que distinguir entre ángulo interior, angulo exterior, angulo central y ángulo inscrito a una circunferencia. Copia en tu cuaderno las siguientes definiciones.
Ángulo interior: es aquél cuyo vértice se encuentra en la región interior a la circunferencia.
Ángulo exterior: es aquél cuyo vértice se encuentra en el exterior de la circunferencia.
Ángulo central: es aquél cuyo vértice se encuentra en el centro de la circunferencia.
Ángulo inscrito: es aquél cuyo vértice se encuentra sobre la circunferencia.
En vuestro libro sólo aparece la definición de los dos últimos.
Observa que el ángulo central cubre cierta región de la circunferencia, llamado
arco.
Una propiedad muy interesante es que todos los ángulos inscritos que abarcan un mismo arco son iguales. Es decir, en la imagen superior, si medimos los ángulos A, B y C, todos tienen el mismo valor. Esto lo puedes comprobar tú mismo, haciendo una especie de recortable, o midiendo directamente los ángulos con el transportador. Lo podemos plantear como tarea:
TAREA 3: Dibuja en tu cuaderno una circunferencia de 3 cm de radio y traza tres ángulos inscritos (como en la imagen) que abarquen el mismo arco MN. Comprueba que los tres ángulos miden lo mismo, usando el transportador.
Pero hay una propiedad mucho más curiosa, que relaciona un ángulo inscrito con un ángulo central, y es la siguiente, que debes copiar en tu cuaderno.
Propiedad del ángulo central: el ángulo central es siempre el doble del ángulo inscrito que abarca el mismo arco de circunferencia. O al revés, el ángulo inscrito es siempre la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco.
En particular, cuando el ángulo central es de 180º, obtenemos el primer teorema de Tales, que establece lo siguiente.
Primer Teorema de Tales: Si un triángulo tiene un lado sobre el diámetro de una circunferencia y el tercer vértice sobre la circunferencia en un punto C, el triángulo obtenido es rectángulo en C.
Estos teoremas son bastante simples, pero poseen una gran importancia, ya que a partir de ellos, se pueden deducir otros muchos resultados geométricos. Vamos pues con la última tarea del día.
TAREA 4: Realiza en tu cuaderno los ejercicios del 1 al 4, de las páginas 206 y 207, sobre ángulos en la circunferencia.
Creo que por hoy es suficiente. En próximas lecciones repasaremos los contenidos impartidos en esta unidad. Ya sabéis, despacito sin prisa, pero sin pausa, ok? Portaos bien y estudiad mucho!
Como siempre, una vez realizadas las tareas en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo: fedematesxxi@gmail.com
Este correo también lo tenéis disponible para dudas. Gracias por la atención.
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Próxima sesión: Miércoles 29 de Abril de 2020
