CLASE 25: Repasando el tema 12.

Buenos días!

Comenzamos una nueva semana, y volvemos un día más con nuestras lecciones de Matemáticas on-blog.  Recordad que en las últimas lecciones, aprendimos a aplicar el Teorema de Pitágoras para resolver multitud de problemas geométricos, de perímetros y áreas. También estuvimos estudiando los principales cuerpos geométricos. Todo ésto, es solo una introducción, ya que el próximo curso, trataremos estos temas  con mayor profundidad. 

Los que me estáis enviando las tareas correspondientes a esta parte, lo estáis haciendo bastante bien, y creo que vais entendiendo todo. Recordad que los ejercicios de geometría deben ir acompañados siempre de su figura correspondiente, y tenéis que dibujarla con regla (nada de mano alzada, ok?)

Hoy no vamos a explicar nada nuevo. Vamos a repasar lo que hemos visto en el tema 12.  La clase la vamos a dividir en dos partes. En la primera os voy a proponer cuatro problemas de aplicación. En la segunda parte, realizaremos la autoevaluación del tema. Como hasta el Miércoles no subiré nada nuevo, organizaros el horario de estudio, para hacer una parte hoy y otra mañana. 

De manera que coged vuestro querido libro de Matemáticas,  abridlo por la página 223, el cuaderno en una hoja en limpio, las herramientas de dibujo cerca, y cuando estéis preparados comenzamos...

1. RESUELVE PROBLEMAS (con el Teorema de Pitágoras)

Recordad que para aplicar el Teorema de Pitágoras, tenéis que formar un triángulo rectángulo, del que debéis conocer o bien los dos catetos, o bien un cateto y una hipotenusa. Luego aplicamos las conocidas fórmulas:

donde "a" es la longitud de la hipotenusa, y "b", "c" son  las longitudes de los catetos. Os suena, verdad? Veamos un primer ejemplo de aplicación, que debéis copiar en vuestro cuaderno:

Ejemplo 1:  Atamos una cometa a un hilo de 200 metros de largo y la soltamos una tarde de viento, para hacerla volar. Si una persona se pone justo debajo de la cometa, se encuentra a una distancia de 160 metros del lugar en el que nos encontramos. Determinar la altura a la que se encuentra volando la cometa.

Solución:  En primer lugar dibujamos un esquema de la situación. 

Vamos a denotar por "x" la altura a la que se encuentra la cometa. 

Observamos en el dibujo, que se forma un triángulo rectángulo, donde son conocidas las longitudes de la hipotenusa  a = 200 m.   y  un cateto  b = 160 m. Por tanto, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras, para calcular la longitud del otro cateto, que en este caso lo hemos nombrado con la letra  "x". 

 x² = a² – b² = 200² – 160² = 40000 – 25600 = 14400

x² = 14400 → x = 120 metros.

donde en el último paso se ha calculado la raíz cuadrada de 14400. En consecuencia la cometa se encuentra a 120 metros de altura!

Fácil, verdad? Pues vamos a aplicar lo aprendido, con la primera tarea del día.

TAREA 1:  Realiza en tu cuaderno los problemas 39, 40, 41 y 42, de la página 233, haciendo uso del Teorema de Pitágoras. 

(Una vez realizada la tarea, continuamos...)

TAREA 2:  Realiza  en tu cuaderno los ejercicios del 1 al 5 correspondientes a la Autoevaluación del tema 12, que aparece en la página 235 del libro de Matemáticas.

De momento es todo. El próximo día comenzaremos un tema nuevo.  Como siempre, portaos bien, y estudiad mucho!

Una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

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Próxima sesión: Miércoles  20  de Mayo de 2020.

Clase 24: Cuerpos geométricos. Poliedros.

Buenos días!

Llegamos al viernes, y nos plantamos de nuevo en el final de la semana.  Espero que estéis siguiendo todas las clases, y vayáis comprendiendo bien la asignatura. Todo lo que hagamos este año, es tiempo ganado para el próximo. Me consta que muchos estáis trabajando mucho y bien. Seguid así, porque todo ese trabajo tendrá su reflejo en las calificaciones finales.  La clase de hoy nos va a servir para finalizar el tema. La próxima semana haremos un repaso, para comprobar si realmente tenéis las ideas claras. Esta parte  es importante, porque todo lo que hemos visto, lo utilizaremos más adelante. Así que prestad atención...

Fiaos en la imagen de arriba. Veréis unos dibujos en una pizarra,  unas fórmulas escritas, unos cuadrados con letras, y ciertas formas de colores. Para un matemático hay una diferencia importante entre los dibujos de la pizarra y esas figuras de colores. ¿Y cual es esa diferencia tan importante? os preguntaréis... pues yo os lo digo: su dimensión.

El concepto de dimensión es algo complicado de explicar. Pero seguro que lo entendéis enseguida. En la pizarra todas las figuras dibujadas son planas. No sobresalen ni forman un relieve. Decimos que tienen dimensión 2, como un triángulo, un cuadrado o un círculo. 

 En cambio, las formas de colores sí sobresalen del plano.  Son cuerpos en el espacio. Decimos que son figuras tridimensionales, o en  3D. Todos los cuerpos de la Naturaleza, realmente son en 3D, como por ejemplo un folio. Lo que pasa es que su grosor es tan pequeño en comparación con nosotros, que prácticamente lo consideramos plano. La Matemática también se ocupa del estudio de este tipo de figuras tridimensionales, que llamamos cuerpos geométricos. De eso va la clase de hoy.

Vamos a entrar en materia. Echad mano de  vuestro libro de Matemáticas, abridlo por la página 226, el cuaderno por donde corresponda  y cuando estéis preparados comenzamos...

1. CUERPOS GEOMÉTRICOS

Los cuerpos geométricos son figuras tridimensionales, que ocupan un  lugar en el espacio. 

Cualquier cosa que nos rodea es un cuerpo geométrico: un bolígrafo, un borrador, vuestro libro, el teclado del ordenador, el rotulador de colorear, la silla en la que te sientas... y cada una tiene una forma distinta. Sería muy complicado clasificar todas las formas que existen en el universo. Hay demasiadas. Pero existen un tipo de cuerpos, que por su importancia, tienen nombre propio: unas son los poliedros y otras los cuerpos de revolución.

No todos los cuerpos geométricos son de estos dos tipos. Por ejemplo en vuestro libro tenéis un montón de cuerpo geométricos dibujados:

Leed lo que pone vuestro libro:

Fijaos que para que un cuerpo geométrico sea poliedro, todas sus caras deben ser planas. Aquí tenéis algunos ejemplos:

Cada uno de estos poliedros también tiene su nombre. Por ejemplo, la primera es un prisma, la segunda una pirámide y la tercera un cubo (o hexaedro). No nos interesa, por ahora,  aprender todos esos nombres. Lo importante es que aprendáis a distinguir un poliedro de algo que no lo es. 

Los cuerpos de revolución se obtienen al hacer girar una figura plana en torno a un eje de rotación. Por ejemplo, si cogemos un triángulo rectángulo y lo hacemos girar rápidamente en torno a uno de sus catetos, obtenemos una figura cónica. 

Fijaos que no tienen todas sus caras planas. Hay cuerpos que no son ni poliedros ni cuerpos de revolución. Para ver si sabes reconocerlos vamos a por la primera tarea del día.

TAREA 1: Realiza los ejercicios 1, 2 y 3 de la página 226, sobre clasificación de cuerpos geométricos. 

Recuerda que en los ejercicios de verdadero/falso, debes explicar el porqué de tu respuesta. En todos los ejercicios de geometría deberás tratar de dibujar la figura.

Una vez realizada la tarea continuamos...

2. POLIEDROS

Todos los poliedros tienen caras planas. Estas caras planas son polígonos. Por ejemplo, un dado es un poliedro cuyas caras son todas cuadrados. En cualquier poliedro podemos distinguir tres elementos: caras, vértices y aristas.

Copia en tu cuaderno: 

Los poliedros se clasifican en tres tipos: prismas, pirámides y poliedros regulares.

PRISMAS

ORTOEDRO:  Un ortoedro tiene la forma de una caja de zapatos.

PIRÁMIDES

Las pirámides se clasifican según como sea su base. Las caras laterales son todas triángulos, pero la base puede ser triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc...

POLIEDROS REGULARES

Los poliedros regulares tienen todas sus caras iguales. Por ejemplo el tetraedro tiene 4 caras triangulares. El cubo (o hexaedro) tiene la forma de un dado, y seis caras cuadradas. El octaedro, tiene 8 caras triangulares (todos los triángulos son equiláteros). En el dodecaedro (12 caras) todas sus caras son pentagonales. Y el icosaedro tiene 20 caras triangulares. 

Platón demostró que sólo existen cinco poliedros regulares, y ni uno más. Por eso, en su honor, también  se llaman sólidos platónicos.

TAREA 2: Realiza el ejercicio 1 de la página 227. 

En  este ejercicio debes indicar caras, vértices y aristas. Luego comprueba la siguiente fórmula:

Caras + Vértices - Aristas = 2.     (Fórmula de Euler)

(Una vez realizada la tarea continuamos...)

3. CUERPOS DE REVOLUCIÓN.

Los cuerpos de revolución son los que se originan al hacer girar una figura plana alrededor de un eje. Fíjate en la siguiente imagen:

En la primera hemos girado un círculo y se ha formado una especie de cámara de una rueda. En la segunda, hemos girado una superficie plana recortada, para obtener una especie de depósito. Podríamos inventarnos nuestros propios cuerpos de revolución, a partir de una figura plana, haciéndola girar convenientemente. Pero hay tres tipos que tienen un nombre especial.

 Los principales cuerpos de revolución son: el cilindro, el cono y la esfera.

CILINDRO

ELEMENTOS DEL CILINDRO:  el cilindro tiene dos bases y una altura.

CONO

ELEMENTOS DEL CONO:  un cono posee una sola base, un vértice, altura y generatriz.

ESFERA
La esfera es el cuerpo de revolución generado por un círculo que gira en torno a cualquiera  de sus diámetros.

La esfera es el cuerpo geométrico más perfecto, porque posee infinitos ejes de simetría!

Como hemos comentado al principio, podríamos diseñar nuestros propios cuerpos de revolución. Para ello basta con recortar  una figura plana y hacerla girar en torno a un eje. Si lo hacemos a mucha velocidad, el resultado es bastante llamativo.

Podrías tratar de hacer el experimento. Si has comprendido hasta aquí, vamos a por la última tarea del día.

TAREA 3: Realiza el ejercicio 1 de la página 228 sobre cuerpos de revolución.

En cada figura debes indicar de qué tipo de cuerpos geométricos está formada. Procura mostrar tu talento artístico dibujándolas en tu cuaderno.

De momento es todo. Espero que no os haya resultado  demasiado complicada la lección de hoy.  El próximo día haremos un repaso de lo visto estos últimos días.  Como siempre, portaos bien, y estudiad mucho!

Una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

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Próxima sesión: Lunes 18  de Mayo de 2020.

CLASE 23: Aplicaciones del Teorema de Pitágoras.

Buenos días!

Retomamos, un día más,  nuestras clases de Matemáticas on-blog. Me gustaría saber cuántos de vosotros echáis de menos las clases del instituto. La verdad que cada día que pasa veo más improbable que podamos retomar las clases  dentro del aula. Así que cuando tengáis un rato me escribís un correo  y me decís si tenéis ganas de volver o ya lo dejamos para el próximo curso.
Vuestra opinión es importante y me sirve para realizar un pequeño análisis estadístico de la situación. Es lo que hacemos en Matemáticas: analizar datos, dibujar gráficas y  calcular porcentajes... que para algo se han inventado.

En la clase del lunes vimos el Teorema de Pitágoras y su recíproco. Si aquello os quedó claro, vamos a avanzar materia. La clase de hoy va orientada a la resolución de diversos problemas, donde se hace necesario el uso del teorema para calcular una longitud desconocida. Debéis recordar el nombre de las figuras planas más importantes,  que vimos en lecciones anteriores. Para los más despistados, os dejo aquí un pequeño esquema-resumen:

Así que abrid vuestro libro por la página 224, el cuaderno por donde corresponda, sentaos derechos en la silla, y cuando estéis preparados comenzamos...

1. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
Existen una clase  de problemas geométricos, donde nos dan una figura (o la tenemos que dibujar nosotros), y nos piden determinar la longitud de un determinado segmento, a partir de datos conocidos. Por ejemplo, la diagonal de un rectángulo, el lado de un rombo, la altura de un trapecio o la apotema de un polígono.

En otros casos, se trata de un  problema práctico, como calcular la longitud de una escalera, apoyada en una pared.

La idea consiste en dibujar sobre la figura un triángulo rectángulo,  del que conocemos dos lados, y nos falta otro (ya sea un cateto o una hipotenusa). Aplicando el Teorema de Pitágoras, podemos obtener la solución del problema

Por ejemplo, en el dibujo de la escalera, si nos fijamos tenemos un triángulo rectángulo y las medidas de los catetos son:   b = 1,5 m     y   c = 3 m.   La longitud de la escalera se corresponde con la hipotenusa del triángulo (a). Sabemos que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Entonces escribiremos:

a² = b²+ c² = 1,5² + 3² = 2,25 + 9 = 11,25

es decir,  a² = 11, 25   -->     a  = 3,35 metros.

donde al final se ha calculado la raíz cuadrada de 11,25. En estos problemas adoptaremos la norma de calcular las aproximaciones a las centésimas, es decir,  si la raíz no es exacta escribiremos la solución con dos cifras decimales.

Veamos los ejemplos que pone vuestro libro:

Ejemplo 1 (Diagonal de un rectángulo)

Ejemplo 2 (Diagonal de un rombo)

Ejemplo 3 (Altura de un trapecio recto)

Ejemplo 4 (Perímetro de un trapecio isósceles)

Recordad que el perímetro de una figura es la suma de todos sus lados. Pero no se incluyen las alturas. Se trata de medir el contorno de la figura, como si estuviésemos bordeándolo, pero sin penetrar en su interior, ok? Por eso en el último ejemplo no se suma el 11, que es la altura. Sólo se deben sumar los segmentos formados por las dos bases (base mayor = 37 m.    base menor = 23 m.)
y los lados oblicuos ( l = 13 m), que por ser dos, se suman dos veces. Así,

Perímetro trapecio = 37 + 23 +13 + 13 = 86 metros. 

Fácil, ¿verdad? Para practicar todo ésto, vamos a por la primera tarea del día.

TAREA 1:  Realizar en el cuaderno los ejercicios 5, 6, 7 y 8 de la página 224. No olvides dibujar primero la figura, poniendo todos sus datos, y recuadrar la solución obtenida.

(Una vez termines la tarea, continuamos...)


2. EJERCICIOS RESUELTOS
Lee con atención los siguientes ejemplos resueltos, con el fin de comprender la estrategia a seguir en cada problema.

Ejercicio 1 (Altura de un triángulo)

Ejercicio 2 (Cálculo de la apotema)

Ejercicio 3 (Perímetro de un octógono)

Ejercicio 4 (Distancia a una cuerda) 

Ejercicio 5 (Perímetro de un cuadrilátero)

Como puedes comprobar, en todos los ejercicios se forman triángulos rectángulos, a los que podemos aplicar el Teorema de Pitágoras. Si crees haberlos entendido, vamos a practicar esta parte, con la segunda tarea del día. 


TAREA 2:  Realizar en el cuaderno los ejercicios del 9 al 13 de  la página 225. No olvides dibujar primero la figura correspondiente, poniendo todos sus datos. (Aproxima los resultados a las centésimas).

Por hoy creo que tenéis suficiente.  Practicad bien esta parte porque la vamos a utilizar más adelante. El próximo día estudiaremos los principales cuerpos geométricos, antes de finalizar la unidad. Como siempre, portaos bien, y estudiad mucho!

Una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

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Próxima sesión: Viernes 15  de Mayo de 2020.

CLASE 22: El Teorema de Pitágoras.

Buenos días!

Hoy es un día importante. ¿Y porqué profe?, os preguntaréis algunos. No es porque sea lunes, no... es porque vamos a ver un teorema. ¿Y qué es un teorema?, dirán otros. Pues un resultado importante en Matemáticas, que debe ser recordado por nosotros y por  futuras generaciones....  y es tan antiguo como la Matemática misma. De hecho su descubridor no fue otro que el genial Pitágoras de Samos, que vivió hace 2500 años y se considera el fundador de la Matemática como ciencia de los números.

Si tenemos que buscar un culpable, Pitágoras es el responsable de que existan las Matemáticas, tal como las conocemos... ah y también la música.

Pitágoras, desde niño, mostró un gran interés por comprender el mundo que le rodeaba.  Pensaba que los números eran la clave para desvelar el secreto que se escondía detrás de cada cosa, desde un pájaro hasta una montaña. Viajó por los principales pueblos del Mediterráneo, aprendiendo de grandes sabios griegos (como Tales o Anaximandro). Estuvo en Egipto y probablemente fue aquí donde, observando como medían con cuerdas los agrimensores del Nilo, comenzó a vislumbrar su famoso teorema.

Pitágoras fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotón (ahora Crotona, en el este del talón del sur de Italia) que tuvo muchos seguidores. Pitágoras fue la cabeza de la sociedad con un círculo cercano de seguidores conocido como los matematikoi. Los matematikoi vivían permanentemente con la Sociedad, no tenían posesiones personales y eran vegetarianos. Fueron enseñados por el mismo Pitágoras y obedecían estrictas reglas. 

Tanto a hombres como a mujeres se les permitía llegar a ser miembros de la Sociedad, de hecho varias mujeres pitagóricas posteriores llegaron a ser famosas filósofas.  Además llevaban inscritas una marca en la mano, conocido como el pentagrama místico,  que reconocía a los miembros de esta sociedad secreta: los pitagóricos.

Pues bien, vamos a meternos de lleno en el tema que nos ocupa. Coged vuestro libro de Matemáticas, abridlo por la página 222, el cuaderno por donde corresponda, sentaos bien en la silla, y cuando estéis preparados comenzamos...

1. EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Antes de comenzar con el teorema, debemos recordad como se clasifican los diferentes tipos de triángulos, en función de cómo son sus lados.

Clasificación de triángulos.

Los triángulos se pueden clasificar de dos maneras: según como sean sus lados, o como sean sus ángulos.

Según sus lados:

Equilátero: es el triángulo que tiene todos sus lados iguales.

Isósceles: es el triángulo que tiene dos lados iguales y uno desigual.

Escaleno: es el triángulo que tiene todos sus lados distintos.

Según sus ángulos interiores:

Rectángulo: es el que posee un ángulo recto, y los otros dos agudos.

Obtusángulo: es el que posee un ángulo obtuso y los otros dos agudos.

Acutángulo: es el que posee sus tres ángulos agudos.

Se pueden dar combinaciones de ellos. Por ejemplo un triángulo puede ser rectángulo e isósceles. O bien obtusángulo y escaleno. El Teorema de Pitágoras se refiere  sólo a triángulos rectángulos.

En todo  triángulo rectángulo, siempre hay un lado que es mayor que los otros dos. Ese lado se denomina hipotenusa, y como convenio de notación lo señalaremos con la letra a.

Los otros dos lados son más cortos, y por ser cortos, se denominan catetos.  Los catetos se designan por las letras b y c.

A veces no resulta fácil saber cuál es la hipotenusa, y cuáles los catetos. Recuerda este truco:

la hipotenusa es siempre el lado opuesto al ángulo de 90º.  

Los otros dos lados serán los catetos, y da igual llamar a uno b y al otro c, o viceversa.

Pues bien, si tenemos todo esto claro, ya estamos en condiciones de enunciar el famoso teorema que puedes encontrar en la página 178 de tu libro de texto.

"En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

Recuerda: Si el triángulo no es rectángulo, el teorema de Pitágoras no se puede aplicar.

Existen dos tipos de problemas relacionados con el teorema. O bien nos dan los catetos y tenemos que calcular la hipotenusa, o bien nos dan la hipotenusa y un cateto, y tenemos que calcular el otro cateto. Os dejo un par de ejemplos que debéis copiar en vuestro cuaderno, que os pueden servir para aclarar  ideas.

Ejemplo 1: 

Ejemplo 2: 

Fijaos que cuando se pide la hipotenusa, se suman los cuadrados de los catetos. Cuando se pide un cateto, se restan los cuadrados. Eso es lógico, porque los catetos miden siempre menos que la hipotenusa. Para practicar ésto, vamos a por la primera  tarea del día.

TAREA 1: Realiza en tu cuaderno los ejercicios del 1 al 4  de la página 223, sobre el Teorema de Pitágoras.

(Una vez realizados, continuamos...)

2. EL RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.

Podemos pensar ahora a la inversa. Suponed que nos dan los tres lados de un triángulo cualquiera, por ejemplo  a =5,  b = 4   y c =3.

La pregunta que nos hacemos es: ¿será un triángulo rectángulo?

Por suerte, podemos saber el tipo de triángulo sin dibujarlo, simplemente haciendo unos pocos cálculos. Esto es lo que se conoce como recíproco del teorema de Pitágoras. 

Si la hipotenusa (a) al cuadrado coincide con la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces podemos afirmar que se trata de un triángulo rectángulo. Si es mayor, será un triángulo obtusángulo. Y si es menor será un triángulo acutángulo.

En el ejemplo de arriba tendríamos:  4² + 3² = 16 + 9 = 25 = 5²

por tanto se trata de un triángulo rectángulo!

A la terna (3,4,5) también se le llama una terna pitagórica. 

A modo de resumen tenemos lo siguiente:

Fíjate en el siguiente ejercicio resuelto:

TAREA 2: Realiza en tu cuaderno el ejercicio 1 de la página 222, para aplicar lo aprendido sobre el recíproco del Teorema de Pitágoras.

De momento es todo por hoy. Practicad bien esta parte porque lo vamos a utilizar a menudo.

El próximo día veremos como se utiliza este teorema para resolver muchos problemas prácticos.

Como siempre, una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

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Próxima sesión: Miércoles 13 de Mayo de 2020.