Buenos días!
Retomamos un día más nuestras clases de Matemáticas on-blog. Espero que hayáis ordenado vuestro cuarto, y tengáis el escritorio preparado, para una nueva lección. Decía un gran matemático, cuyo nombre ahora mismo no recuerdo, que al igual que en una habitación, en una mente ordenada, caben más cosas. Cuando en un lugar hay mucho desorden, decimos que "hay un caos". Pues no sé si sabéis, que hay toda una teoría matemática, que trata de poner orden en el caos. Se llama teoría de sistemás caóticos. Y es algo que está más presente en nuestras vidas de lo que podáis imaginar.
La clase de hoy va de ordenar nuestras ideas y de cómo utilizar el teorema de Pitágoras, para resolver problemas de áreas y perímetros de figuras. Coged vuestro libro de Matemáticas, abridlo por la página 244, el cuaderno por donde corresponda, la regla y el compás a mano, y cuando estéis preparados, comenzamos...
PARTE I: Aplicaciones del teorema de Pitágoras al cálculo de áreas.
En ocasiones, se nos pide determinar el área o el perímetro de una figura, pero nos falta un dato. La estrategia consiste en calcular primero el dato que falta, buscando un triángulo rectángulo, al que poder aplicar el famoso teorema. Luego se aplica la fórmula correspondiente del área (procurad tenerlas a mano, si no os las habéis aprendido ya).
Vamos a repasar algunos problemas de este tipo. Los siguientes ejemplos copiadlos en vuestro cuaderno, para ir elaborando vuestros propios apuntes del tema.
PARTE I: Aplicaciones del teorema de Pitágoras al cálculo de áreas.
En ocasiones, se nos pide determinar el área o el perímetro de una figura, pero nos falta un dato. La estrategia consiste en calcular primero el dato que falta, buscando un triángulo rectángulo, al que poder aplicar el famoso teorema. Luego se aplica la fórmula correspondiente del área (procurad tenerlas a mano, si no os las habéis aprendido ya).
Vamos a repasar algunos problemas de este tipo. Los siguientes ejemplos copiadlos en vuestro cuaderno, para ir elaborando vuestros propios apuntes del tema.
Ejemplo 1: Calcula el área de un rectángulo del que conocemos un lado 10 cm y su diagonal, 26 cm. ¿Cuánto mide su perímetro?
Solución:
En este ejemplo vemos que para calcular el área del rectángulo (A = base x altura) necesitamos conocer primero la longitud de la base (b). Para ello señalamos un triángulo rectángulo en la figura, donde se conocen una hipotenusa (la diagonal) y un cateto. La base es la medida del otro cateto. Aplicamos el Teorema de Pitágoras, primero, y una vez conocida la base, aplicamos la fórmula del área.
Además ahora resulta sencillo calcular, si nos lo pidieran, el perímetro de la figura, que es la suma de todos sus lados.
P = 2 x 24 + 2 x 10 = 48 + 20 = 68 cm.
Ejemplo 2: El lado de un rombo mide 14 cm y una de sus diagonales 20 cm. Halla su área.
Solución:
Observar en este segundo ejemplo, como necesitamos conocer la longitud de la otra diagonal, ya que la fórmula para determinar el área de un rombo es el producto de las diagonales entre dos.
La mitad de la diagonal d = 20 cm es 10. Y como conocemos el valor del lado del rombo, que se corresponde con la hipotenusa de un triángulo rectángulo, volvemos a aplicar el Teorema de Pitágoras, para determinar la mitad de la mitad de la otra diagonal. Por eso el valor de x en la imagen hay que multiplicarlo por 2.
La solución es finalmente: A = 196 centímetros cuadrados.
En este caso, puesto que la fórmula para el área de un trapecio es A = (B + b ) · a / 2, necesitamos conocer la altura del trapecio. Como se ve en la figura, se forma un triángulo rectángulo, del que conocemos la hipotenusa (25 m) y un cateto (15 m). Aplicando el Teorema de Pitágoras, se calcula la medida del otro cateto, que es precisamente la altura del trapecio: a = 20 m.
De manera que aplicando la fórmula del área se obtiene A = 710 metros cuadrados.
Como en el ejemplo 3, primero calculamos la altura (que es un cateto de cierto triángulo) y luego se aplica la fórmula del área del trapecio.
La solución es por tanto A = 720 metros cuadrados.
Fácil, ¿verdad? Pues si has entendido bien estos ejemplos, vamos a practicar esta parte, con la primera tarea del día.
La mitad de la diagonal d = 20 cm es 10. Y como conocemos el valor del lado del rombo, que se corresponde con la hipotenusa de un triángulo rectángulo, volvemos a aplicar el Teorema de Pitágoras, para determinar la mitad de la mitad de la otra diagonal. Por eso el valor de x en la imagen hay que multiplicarlo por 2.
La solución es finalmente: A = 196 centímetros cuadrados.
Ejemplo 3: Hallar el área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 43 y 28 m y el lado oblicuo 25 cm.
Solución:
En este caso, puesto que la fórmula para el área de un trapecio es A = (B + b ) · a / 2, necesitamos conocer la altura del trapecio. Como se ve en la figura, se forma un triángulo rectángulo, del que conocemos la hipotenusa (25 m) y un cateto (15 m). Aplicando el Teorema de Pitágoras, se calcula la medida del otro cateto, que es precisamente la altura del trapecio: a = 20 m.
De manera que aplicando la fórmula del área se obtiene A = 710 metros cuadrados.
Ejemplo 4: Hallar el área de un trapecio isósceles, cuyas bases miden 23 y 37 metros y cada uno de los lados oblicuos miden 25 m.
Solución:
Como en el ejemplo 3, primero calculamos la altura (que es un cateto de cierto triángulo) y luego se aplica la fórmula del área del trapecio.
La solución es por tanto A = 720 metros cuadrados.
Fácil, ¿verdad? Pues si has entendido bien estos ejemplos, vamos a practicar esta parte, con la primera tarea del día.
TAREA 1: Realiza en tu cuaderno, siguiendo los pasos indicados, los ejercicios del 1 al 4 de la página 244, sobre cálculo de áreas de figuras planas.
(Una vez realizada la tarea, continuamos...)
PARTE II: Áreas y perímetros menos sencillos.
Lee los siguientes ejemplos, que te pueden ayudar para resolver la segunda tarea del día.
Ejemplo 5: Calcula el área de un triángulo equilátero de 12 cm de lado.
Solución:
Ejemplo 6: Calcula el área de hexágono regular de 8 cm de lado.
Solución:
Ejemplo 7: Calcula el área de octógono regular cuyo radio mide 13 cm y la apotema 12 cm.
Solución:
Ejemplo 8: Calcula la longitud de la cuerda y el área del triángulo formado, cuando se dibuja a una distancia de 7,5 cm del centro de una circunferencia de 15 cm de radio.
Solución:
Observad en este último ejemplo, como la cuerda mide 26 cm, y es la base del triángulo pedido. Si habéis comprendido estos ejemplos, vamos por la segunda tarea del día.
TAREA 2: Realiza en tu cuaderno los ejercicios 5, 6, 7 y 8 de la página 245, sobre cálculo de área de figuras planas.
Veréis que los problemas son similares a los ejemplos expuestos en la clase de hoy. Debéis seguir los mismos pasos, dibujando siempre la figura y poniendo las medidas conocidas, correspondientes a cada lado. Estos ejercicios os pueden parecer algo más complicados, pero merece la pena dedicarles algo de tiempo.
De momento es todo por hoy. El próximo día, haremos un repaso del tema. Como siempre aprovechad el tiempo y estudiad mucho!
De momento es todo por hoy. El próximo día, haremos un repaso del tema. Como siempre aprovechad el tiempo y estudiad mucho!
Una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo: fedematesxxi@gmail.com
Este correo también lo tenéis disponible para dudas.
-------------------------- FIN DE LA CLASE --------------------------------
Próxima sesión: Viernes 5 de Junio de 2020
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