CLASE 31: Problemas sobre áreas de figuras planas.

Buenos días!

Hoy es lunes y comenzamos nueva semana  y  nuevo mes. Así es xiquets, sin darnos cuenta,  hemos llegado al mes de Junio. Os adelanto que ésta es la última semana que vamos a estar enviando tareas y subiendo nuevos contenidos al blog. Me explico:  durante la  primera semana de Junio  iré colgando las últimas lecciones de Matemáticas del curso, para terminar de aprender bien el último tema de Geometría. La siguiente semana  la podréis dedicar a ir enviando los trabajos atrasados o repasando contenidos. Pero no habrá lecciones nuevas...

De manera que el último día para enviar trabajos, será el Viernes 12 de Junio. Podemos considerar esta fecha, como último día lectivo. Después de ese día,  podéis relajaros y esperar a recibir vuestras calificaciones, como resultado de vuestro trabajo a lo largo de todo el año.  Ya sabéis que la calificación final del curso se obtiene como una media de las calificaciones obtenidas en las dos primeras evaluaciones (nota media) y se reforzará con las valoraciones obtenidas  en las diferentes tareas propuestas, durante estos últimos meses de curso.  Ya os aviso que lo habéis estado haciendo muy bien, y la mayoría os habéis sabido adaptar a este nuevo tipo de enseñanza  a distancia.

Bueno, pues sin más demora, vamos a por lo que toca hoy. ¿Y qué toca hoy?, os preguntaréis algunos. Pues repasar las fórmulas vistas la semana pasada, para calcular perímetros y áreas de figuras planas. La clase la vamos a dividir en dos partes. En la primera os voy a proponer una serie de problemas, en los que debéis dibujar la figura primero, con sus datos correspondientes.

En la segunda parte, vamos a hacer una serie de ejercicios de mayor dificultad, donde se os da una figura un tanto extraña, y tendremos que calcular su perímetro y su área, utilizando todo nuestro ingenio.

Así que, sin más demora, coged vuestro libro de Matemáticas, abridlo por la página 246, el cuaderno por donde corresponda,  la regla y el compás a mano, y cuando estéis preparados, comenzamos...

PARTE I:  Resolución de problemas geométricos.

En este parte vamos a resolver una serie de problemas, en los que deberás seguir los siguientes pasos:

• Dibujar la figura geométrica.
• Poner las medidas en la figura, dadas como datos.
• Escribir la fórmula a aplicar.
• Realizar los cálculos correspondientes.
• Expresar correctamente, en las unidades apropiadas, la solución obtenida.

Observa los siguientes dos ejemplos:

Ejemplo 1:  Calcula el área de un triángulo rectángulo cuyos lados miden 15, 20 y 25 cm. Calcular también la altura sobre la hipotenusa y su perímetro.

Solución:

Ejemplo 2: Halla el área de un triángulo equilátero de 10 cm de lado y 8,66 cm de altura.

Solución:

Si has entendido bien el proceso,  vamos a practicar esta parte, con la primera tarea del día.

TAREA 1: Realiza en tu cuaderno, siguiendo los pasos indicados,  los ejercicios del 8 al 12 de la página 246, sobre cálculo de áreas de figuras planas.

(Una vez realizada la tarea, continuamos...)

PARTE II: Áreas y perímetros menos sencillos.

En ocasiones, se nos presentan figuras que no tienen fórmula conocida, pero que se pueden descomponer en formas más simples,  a las que podemos calcular tanto su área como su perímetro.

Recordar que cuando una figura se descompone en trozos más pequeños el área total es la suma de las áreas de cada uno de los trozos.

En esta parte no voy a dar más explicación. Se trata de que agudicéis vuestro ingenio, para resolver la siguiente tarea.

TAREA 2: Realiza en tu cuaderno los ejercicios 16, 17 y 18 de la página 247, por descomposición en figuras simples.

Para resolver estos ejercicios debéis recordar las fórmulas estudiadas, tanto para los cuadriláteros, como para el círculo, y los sectores circulares. En todos los problemas podéis tomar como aproximación de Pi = 3,14, ok?

De momento creo que tenéis para estar entretenidos un rato. Recordad  copiar los enunciados completos, y dibujar la figura correspondiente, poniendo sus medidas.  Como siempre aprovechad el tiempo y estudiad mucho!

Una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

--------------------------    FIN   DE  LA   CLASE  --------------------------------

Próxima sesión: Miércoles 3  de Junio de 2020

CLASE 30: Repasamos el cálculo de áreas.

Buenos días!

Llegamos a un nuevo viernes. Otra semana que se nos va, así como el mes de Mayo. La clase de hoy va a ser bien sencilla. No vamos a explicar nada nuevo. Las principales fórmulas que teníamos que aprender este año, ya las hemos visto. Os dejo un pequeño resumen de las más importantes, incluyendo las circulares.

Faltan muchas otras. Sería interesante que os hiciérais en vuestro cuaderno vuestro propio formulario. Ahora toca practicarlas.  Así que os voy a proponer solamente una tarea.

TAREA DEL DIA
Realizar en el cuaderno, dibujando las figuras correspondientes, los ejercicios del 1 al 8 de la página 246, sobre el cálculo de perímetros y áreas de figuras planas.

Falta el ejercicio 8 que no aparece en la imagen.

Recuerda copiar los enunciados completos, y dibujar la figura correspondiente, poniendo sus medidas.  Como siempre aprovechad el tiempo y estudiad mucho!

Una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

--------------------------    FIN   DE  LA   CLASE  --------------------------------

Próxima sesión: Lunes 1 de Junio de 2020

CLASE 29: Medida del círculo.

Buenos días!
Espero que os encontréis todos bien, y con muchos ánimos para aprender cosas nuevas. Hoy la clase la vamos a dedicar a una figura muy especial. Tan especial, que desde antiguo, muchos matemáticos le han dedicado largas horas de estudio. De hecho sin esta figura, no podríais ir ni en bici ni en  patinete...

Como ya os lo habéis podido imaginar se trata del círculo. Y es que allí donde os encontréis una rueda, habrá un círculo  y una circunferencia (aunque no sean exactamente lo mismo). Calcular el perímetro de una circunferencia, o el área de un círculo no fue tarea fácil. Las fórmulas que vamos a aprender hoy nos las tendremos que aprender sin más, y son el resultado de los trabajos de un geómetra griego denominado Arquímedes de Siracusa, que descubrió estas fórmulas allá por el siglo III a. C.

Además en  sus escritos encontramos la primera aproximación numérica del número Pi, con más de dos decimales exactos. En efecto, fue Arquímedes el primero que dijo que en la circunferencia hay un número llamado Pi, cuyo valor es aproximadamente 3.14. Hoy día sabemos que Pi es mucho más que eso, y se han obtenido millones de cifras decimales con ayuda del ordenador. Pero no podemos olvidar el primero que inició el camino,  e hizo sus trabajos con sólo una regla y un compás.

Así que sin más demora, abrid vuestro libro de Matemáticas por la página 242,  el cuaderno por donde corresponda,  el compás más que nunca a mano, y cuando estéis preparados comenzamos...

1. LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

La primera cuestión que debemos tener clara es la diferencia entre circunferencia y circulo. Para que se entienda de manera sencilla, pensar en un anillo o en una moneda de euro. El anillo sólo tiene contorno, mientras que la moneda de euro está maciza y contiene  material en su  interior. La primera es un ejemplo de circunferencia, y la segunda de círculo.  Copia en tu cuaderno las siguientes definiciones:

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto llamado centro. Todos los puntos de la circunferencia se encuentran a la misma distancia del centro. Dicha distancia es el radio de la circunferencia.

El círculo es el conjunto de puntos del plano que se encuentran en el interior de una circunferencia. Por tanto el borde de un círculo es una circunferencia.

La longitud de una circunferencia es la medida del contorno del círculo. Se puede demostrar que la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es siempre una constante. A dicha constante se le llama Pi. 

Veamos lo que pone vuestro libro: 

Ejemplo 1:  Calcula el perímetro de un círculo de 10 cm de radio.

Solución:  Aplicando la fórmula dada

L = 2 x Pi x r = 2 x 3.14 x 10 = 6,28 cm.

2. ÁREA DE UN CÍRCULO

Para calcular el área de un círculo, podemos pensar en triangularlo, así como hicimos en la clase anterior con los poligonos regulares. De hecho, un círculo podría considerarse como un polígono regular de infinitos lados.

Esta es la idea que usó Arquímedes para cuadrar el circulo...

Es decir, el área de un círculo es el cuadrado del radio por PI. Apuntad bien esta fórmula que la utilizaremos a menudo.

Ejemplo 2:  Calcula el área de un círculo de 10 cm de radio.

Solución:  Aplicando la fórmula previa

A = π · r² = 3.14 · 10² = 3.14 · 100 = 314 cm²

Ejercicio resuelto

Lee con atención el siguiente ejercicio donde se aplican las dos fórmulas anteriores:

Observa que aunque las formas sean distintas los perímetros y áreas de ambas figuras coinciden. La figura coloreada de verde es lo que se denomina corona circular.  Si has entendido hasta aquí, vamos a por la primera tarea del día...

TAREA 1: Realiza en tu cuaderno los ejercicios 1 y 2 de la página 242.

(Una vez realizada la tarea, continuamos...)

3. ARCO DE CIRCUNFERENCIA

Cuando dibujamos un segmento uniendo dos puntos de una circunferencia, obtenemos una cuerda y un arco. Es posible calcular la longitud de este arco, si conocemos el valor del ángulo central que cubre dicho arco.

Con una regla de tres simple, se puede obtener la siguiente fórmula:

Ejemplo 3: Calcula la longitud de un arco de circunferencia de 12 cm de radio, cuando abarca un ángulo central de 60º.

Solución:  Aplicando la fórmula previa, tendremos:

 Longitud arco = (2 · 3,14 · 12) / 360   · 60º = 12,56 cm.

4. SECTOR CIRCULAR

Un sector circular es la región del círculo comprendida entre dos radios y que queda cubierta por un ángulo central. 

Para medir la porción de superficie cubierta por un sector de cierto ángulo, aplicamos una fórmula muy parecida a la obtenida en el apartado previo. 

Ejemplo 4: Calcula el área comprendida por un ángulo central de 45º, en el interior de un círculo de 3 cm de radio.

Solución:   Aplicando la fórmula previa, tendremos:

Área sector  = ( 3,14 · 9) / 360   · 45º = 3,53  centímetros cuadrados.

Lee atentamente el ejercicio resuelto que aparece en tu libro.

Si lo has comprendido, vamos  a practicar esta última parte.

TAREA 2: Realiza en tu cuaderno los ejercicios del 3 al 7 de la página 243, sobre figuras circulares.

Recuerda copiar los enunciados completos,  dibujar la figura correspondiente, usando regla y compás y  poniendo sus medidas. De momento es todo por hoy. En la próxima clase haremos un repaso del tema. Como siempre aprovechad el tiempo y estudiad mucho!

Una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

--------------------------    FIN   DE  LA   CLASE  --------------------------------

Próxima sesión: Viernes 29 de Mayo de 2020

CLASE 28: Cálculo de áreas de polígonos.

Buenos días!

Comenzamos una nueva semana y continuamos un día más con nuestras clases de Matemáticas on-blog. Esta semana la vamos a dedicar al cálculo de áreas de figuras algo más complicadas, que las que hemos visto hasta ahora. Tampoco demasiado complicadas, aunque ya os adelanto que no hay fórmulas para todo. En ocasiones es necesario agudizar el ingenio, para poder calcular el área de un polígono irregular. De eso va la clase de hoy. 

Coged vuestro libro,  abridlo por la página 241, el cuaderno por donde corresponda, la regla de dibujo a mano, y cuando estéis preparados comenzamos...

MEDIDAS EN POLÍGONOS

Recordad que un polígono es una figura que tiene muchos lados. Los polígonos que tienen todos sus lados y sus ángulos iguales se llaman regulares. El resto son polígonos irregulares. Nuestro objetivo es aprender a calcular el perímetro y el área de cualquier polígono, ya sea regular o irregular. Ya os aviso que los primeros son los más abundantes y no tiene fórmula. En cambio para los segundos sí hay una fórmula, que se deduce de lo aprendido en clases pasadas.

1. POLÍGONOS IRREGULARES.

Para calcular el área de un polígono irregular, efectuamos un proceso denominado triangulación, que consiste en dividir la figura en triángulos, trazando líneas en su interior. Una vez descompuesta la figura en triángulos, calculamos el área de cada uno.  El área total de la figura es la suma de las áreas de cada uno de los triángulos formados.

Mirad lo que pone vuestro libro:

Veamos un primer ejemplo, que debes copiar en tu cuaderno:

Ejemplo 1: Calcula el perímetro y el área de la siguiente figura.

Solución:  si os fijáis en la imagen, se trata de un cuadrilátero irregular. Hemos trazado una diagonal interior, para dividirlo en dos triángulos. La ventaja de hacerlo así es que estos triángulos interiores son rectángulos, y por tanto es muy sencillo calcular la superficie de cada uno de ellos.

Para el triángulo rectángulo menor,  de lados 3, 4 y 5 m, basta multiplicar los catetos y dividir entre dos. Así

A1 = (3 x 4) / 2 = 12 / 2 = 6 metros cuadrados.

Para el triángulo rectángulo mayor, de lados 12, 5 y 13 metros, aplicamos la misma fórmula, percatándonos que los catetos son los lados mas cortos de 12 y 5 metros, respectivamente:

                                         A2= (12 x 5) / 2 = 60 / 2 = 30  metros cuadrados.

Con todo, el área total del cuadrilátero será la suma de las áreas de estos dos triángulos.

At = A1 + A2 = 6 + 30 = 36 metros cuadrados.

El perímetro de la figura es la suma de todos sus lados. En este caso, es bastante sencillo obtener

P =  3 + 4 + 12 + 13 = 32 metros.

Ejemplo 2: Calcula  el perímetro y el área de la siguiente figura.

Solución:  en la imagen, hemos trazado una diagonal, para formar dos triángulos. El triángulo de la derecha es rectángulo y conocemos sus catetos. Su área se calcula multiplicando los catetos y dividiendo entre dos:

A1 = (30 x 40 ) / 2 = 1200 / 2 = 600 metros cuadrados.

En cambio, el triángulo de la izquierda es un triángulo isósceles, del que no sabemos su altura. Tendremos que determinarla, trazándola con la regla y aplicando el teorema de Pitágoras, tal como aparece en la siguiente imagen:

Observar que se forman tres triángulos rectángulos iguales, de lados 30, 40 y 50 metros.

Por tanto el área del polígono irregular es tres veces el área de uno de estos triángulos, que habíamos calculado antes. Es decir, 

At = 3 x A1 = 3 x 600 = 1800 metros cuadrados.

El perímetro es la suma de todos sus lados exteriores. Como los conocemos todos, podremos escribir:

P = 60 + 30  + 40  + 50 = 180 metros.

Observar la diferencia entre las unidades de medida del perímetro y del área. El perímetro se mide en unidades de longitud y el área en unidades de superficie. No las confundáis!

2. POLÍGONOS REGULARES.

Cuando un polígono es regular, también hacemos un proceso de triangulación de la figura, pero partiendo de su centro. De manera que obtenemos tantos triángulos como lados tenga la figura. Calculamos el área de uno de estos triángulos y multiplicamos por el número de lados.

Al final se obtiene una fórmula muy conocida que es la que suele aparecer en la mayor parte de libros de matemáticas.  Leed lo que pone al respecto vuestro libro:

La altura de cada triángulo tiene un nombre especial. Se denomina apotema.  De manera que la fórmula del área de cualquier polígono regular es siempre perímetro por apotema entre dos. 

Generalmente la apotema no mide lo mismo que el lado, y hay que calcularla haciendo uso del teorema de Pitágoras. En otros casos, nos la proporciona el problema como un dato más. Tan sólo hay una figura en la que el valor del lado coincide con el radio. Se trata del hexágono regular. En este caso, podemos determinar la apotema, que es la altura de cada uno de los triángulos que se forman en su interior.

Veamos un ejemplo de todo esto:

Ejemplo 3: Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular de 10 cm de lado.

Solución: En un hexágono regular, si triangulamos la figura a partir de su centro, observamos que se forman 6 triángulos equiláteros. Como el radio es 10, y el lado es 10, la mitad del lado es c = 5. Necesitamos calcular el valor de la altura "a", para calcular el área de un triángulo. Como se trata de un cateto en el triángulo rectángulo dibujado de azul en la figura, tendremos:

 a² = 10² – 5² = 100 – 25 = 75

Por tanto,   a² = 75 → a = 8,66 m

El área de cada triángulo será:   A = (10 x 8,66 ) / 2 = 43,3 centímetros cuadrados.

El área del hexágono es seis veces dicho valor,

At = 6 x 43,3 = 259,8 metros cuadrados.

También podríamos haber aplicado la fórmula, 

At = perímetro x apotema / 2 = (60 x 8,66 ) / 2 = 259,8 metros cuadrados.

Si has entendido hasta aquí, vamos a practicar esta parte con la única tarea del día.

TAREA 1: Realiza en tu cuaderno los ejercicios del 1 al 5 de la página 241, sobre área de polígonos.

Recuerda copiar los enunciados completos, y dibujar la figura correspondiente, poniendo sus medidas. De momento es todo por hoy. En la próxima clase hablaremos del círculo. Como siempre aprovechad el tiempo y estudiad mucho!

Una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

--------------------------    FIN   DE  LA   CLASE  --------------------------------

Próxima sesión: Miércoles 27 de Mayo de 2020

CLASE 27: Cálculo de áreas II

Buenos días!

Llegamos a un nuevo viernes, y nos ponemos en las puertas de otro fin de semana. La clase de hoy la vamos a dividir en dos partes. En la primera, haremos un breve repaso de las fórmulas vistas en la clase anterior, sobre áreas de cuadriláteros  y en la segunda, aprenderemos a calcular el área de cualquier triángulo.

Como podéis comprobar, al final todo son fórmulas, y debéis aprenderlas. Haremos un resumen de todas ellas, al finalizar la unidad.  Pero más importante que memorizarlas, es comprender en qué consiste esto de calcular el área de una figura plana. Recordad que es un proceso de cuadrar la figura y "contar cuadraditos"  en su interior. Tan sólo hay una figura que no se puede cuadrar de manera exacta. La veremos al final de la unidad.

Si os aburrís mucho, podéis tratar de medir la superficie del círculo que aparece en la imagen. El genial Arquímedes descubrió una fórmula para efectuar el cálculo de manera rápida, sin necesidad de estar contando cuadraditos uno a uno. En esa fórmula, aparece por primera vez en la historia de la Matemáticas, el famoso número pi = 3,141592...

Sin más demora, coged vuestro libro de Matemáticas, abridlo por la página 239, el cuaderno por donde corresponda, la regla de dibujo a mano, y cuando estéis preparados comenzamos...

PARTE I: Repasando áreas de cuadriláteros.

Aquí tenéis las fórmulas que nos sirven para calcular el área de cualquier cuadrilátero.

Recordad los pasos que debéis seguir para resolver este tipo de ejercicios:

• Tomar los datos del problema
• Dibujar la figura correspondiente (con regla)
• Escribir la fórmula general del área de la figura.
• Determinar las medidas que falten, en su caso.
• Realizar los cálculos detallados.
• Recuadrar la solución final, indicando la unidad de medida correspondiente.

Vamos a practicarlas, haciendo la primera tarea del día: 

TAREA 1: Realiza en tu cuaderno los ejercicios del 6 al 10 de la página 239, sobre el cálculo de  áreas de cuadriláteros.

(Una vez realizada la tarea, pasamos de página...)

PARTE II:  Cálculo del área de un triángulo.

Lee lo que aparece al inicio de la página 240 de tu libro:

Es decir, como un triángulo es la mitad de un paralelogramo, la fórmula será la mitad de éste. De ahí la conocida fórmula de base por altura entre dos. Piensa por ejemplo que un triángulo rectángulo, no es más que la figura que resulta de partir un rectángulo por su diagonal.

Hay un caso particular. Se trata cuando el triángulo es rectángulo. En ese caso, podemos rotarlo de manera que un cateto sea la base y el otro cateto la altura.  ¿Cómo sería la fórmula entonces?

Ejercicio:  Calcula el área de un triángulo rectángulo de catetos  c = 3 cm  y  c' = 4 cm.

Solución:  Observando la fórmula de la derecha, tendremos,

A = ( 3 x 4 ) / 2 = 12 / 2 = 6 centímetros cuadrados.

Cálculo de la altura cuando es desconocida
Las dos fórmulas anteriores combinadas, nos permiten calcular la altura, conociendo el área del triángulo. Primero calculamos la superficie de la figura, multiplicando los catetos, y dividiendo entre dos. Una vez conocida el área, aplicamos la fórmula de la izquierda, con el fin de despejar la altura. Mira como lo hace tu libro, en el siguiente ejemplo resuelto:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Este segundo ejemplo es de aplicación directa de la fórmula. Verás que no es nada complicado.
Si has entendido hasta aquí vamos a por la segunda tarea del día.

TAREA 2: Realiza en tu cuaderno los ejercicios del 1 al 4 de la página 240,  sobre el cálculo de áreas de triángulos.

Recuerda copiar los enunciados completos, y dibujar la figura correspondiente, poniendo sus medidas. De momento es todo por hoy. La próxima semana continuaremos con las últimas lecciones  de la unidad. Como siempre aprovechad el tiempo y estudiad mucho!

Una vez realizada la tarea en el cuaderno debéis enviarla escaneada a la dirección de correo:   fedematesxxi@gmail.com

  Este correo también lo tenéis disponible para dudas.

--------------------------    FIN   DE  LA   CLASE  --------------------------------

Próxima sesión: Lunes 25 de Mayo de 2020